Grand oral baccalauréat Mathématiques et SES : outils mathématiques et inégalités sociales

Il est souvent affirmé que la reproduction des inégalités  serait plus forte en France que dans les autres pays développés.
L’Insee publie depuis longtemps des statistiques sur les inégalités de revenu en France. Mais peu de résultats étaient disponibles sur la mobilité intergénérationnelle en matière de revenus.

Pourtant, dans notre société où l’on parle beaucoup d’égalité des chances, la question est importante. Faut-il, comme l’affirme Xavier Bertrand, six générations pour accéder à la classe moyenne quand on est issu de la classe populaire ?

Cela nous amène à nous demander dans quelle mesure le revenu des parents détermine celui de leurs enfants.

Nous verrons donc aujourd’hui en quoi les outils mathématiques, tels que la courbe de Gatsby, offrent un éclairage sur les mécanismes de transmission des inégalités entre les générations, et quelles en sont les implications pour la mobilité sociale.

La formation d’une courbe de Gatsby passe par plusieurs outils mathématiques que sont la courbe de Lorenz, le coefficient de Gini et l’élasticité intergénérationnelle des revenus, que nous allons donc analyser.

I) la courbe de Lorenz, le coefficient de Gini

La courbe de Lorenz est une représentation graphique de la répartition d'une variable.  Cette courbe a été créée en 1905 par Max Otto Lorenz, un économiste américain, pour décrire les inégalités de revenu.

Comme vous pouvez le voir sur le graphique, l'axe des abscisses représente le pourcentage total de la population. L'axe des ordonnées montre le pourcentage cumulé des revenus. On parle de pourcentage cumulé quand la mesure considère l'évolution d'une donnée sur plusieurs périodes.

La droite d'équidistribution, en bleu sur notre graphique, se note y=x, et représente la distribution parfaitement égalitaire du revenu dans la population. Ainsi, si on interprète le point de coordonnées (0,3 ; 0,3) que j’ai marqué d’une croix, on peut lire que 30 % des ménages les plus pauvres cumuleraient 30 % des revenus du pays.

Plus la courbe de Lorenz (courbe orange sur notre schéma) se situe loin de la droite d'équidistribution, plus la présence d'inégalités de revenus dans une économie est grande.

On constate donc que les 50% de la population les plus pauvres perçoivent 30 % du revenu total. Cela signifie que 50% des plus riches détiennent 70 % des revenus.

Les courbes de Lorenz répondent à certains critères. En effet, une courbe de Lorenz est associée à une fonction f croissante et continue sur l’intervalle [0 ;1] dont l’image de 0 est 0 et l’image de 1 est 1 et telle que, pour tout x de [0 ; 1], f(x) est comprise entre 0 et x.

Afin de déterminer le degré des inégalités de revenus de manière plus précise, on utilise le coefficient de Gini, développé par le statisticien Italien, Corrado Gini, en 1912.  L’indice de Gini est déterminé par l'interprétation de la courbe de Lorenz. Les deux sont liés. Ce coefficient est donc une mesure statistique qui permet de rendre compte de la disparité d'une variable donnée (salaire, patrimoine, etc.) et donc des inégalités de revenus.

Pour définir le coefficient de Gini, il faut d’abord définir l’aire de concentration. Cette aire est celle de la surface située entre le segment bleu et la courbe de Lorenz.

Le coefficient de Gini, que j’ai noté gamma sur mon support, est égal à 2 fois l’intégrale entre 0 et 1 de (x – f(x)) dx.

On peut ajouter que gamma est égal à 0 lorsque l’aire de concentration est nulle, c’est-à-dire lorsque la courbe de Lorenz est confondue avec le segment bleu : on est dans le cas d’une égalité parfaite de répartition des richesses.

De même, gamma tend vers 1 lorsque l’aire de concentration est maximale, c’est-à-dire lorsque la courbe de Lorenz est pratiquement collée à l’axe des abscisses : dans ce cas, c’est une infime partie de la population qui concentre pratiquement la totalité des richesses.

La courbe de Lorenz et le coefficient de Gini sont des outils statiques qui mesurent les inégalités à un moment donné.  Mais le niveau de revenu est souvent transitoire. Une mesure dynamique des inégalités consiste à comparer les revenus des parents et des enfants. Nous allons donc aborder l’élasticité intergénérationnelle des revenus, dernier outil nécessaire à la création d’une courbe de Gatsby.

II) L’élasticité intergénérationnelle des revenus et la courbe de Gatsby

De manière générale, pour calculer une élasticité, il faut considérer 2 variables x et y. Si y est l'effet, c'est-à-dire la variable dépendante, et x la cause, c'est-à-dire la variable déterminante, l'élasticité de y par rapport à x se calcule de la façon suivante :
Taux de variation de y / Taux de variation de x

L'élasticité intergénérationnelle des revenus permet quant à elle d'estimer la variation en pourcentage du revenu d'un enfant lorsque les revenus des parents augmentent de 1%. 

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