Analyse complexe
TD : Analyse complexe. Recherche parmi 298 000+ dissertationsPar tom95160 • 1 Novembre 2015 • TD • 1 177 Mots (5 Pages) • 950 Vues
[pic 1]
Analyse complexe Devoir maison-Maths 09/12/2013 Thomas Thuly |
Table des matières
Exercice 1 :
Exercice 2 :
Exercice 3 :
Exercice 1
- Soit la fonction f définie dans ℂ par : Ou désigne le nombre complexe conjugué de z. Peut-on trouver un disque ouvert de C dans lequel f soit holomorphe ?[pic 2][pic 3]
[pic 4]
On pose [pic 5]
[pic 6]
[pic 7]
[pic 8]
On a: [pic 9][pic 10]
[pic 11]
[pic 12]
La deuxième condition de Cauchy est bien respectée :
[pic 13]
[pic 14]
[pic 15]
[pic 16]
Donc la fonction n’est pas holomorphe sur ℂ.
Soit la fonction de la variable complexe z définie dans son domaine de définition par
[pic 17]
Quel est le domaine de définition D de f ? La fonction est-elle holomorphe dans D ?
Le domaine de définition de f est le domaine dans lequel on a : [pic 18]
C’est-à-dire ou le quotient est défini.[pic 19]
[pic 20]
[pic 21]
[pic 22]
[pic 23]
[pic 24]
On obtient deux solutions :
[pic 25]
[pic 26]
[pic 27]
D = ℂ - {} avec [pic 28][pic 29]
- Résoudre dans C les équations cos(z) = 0, sin(z) = 0, ch(z) = 0, sh(z) = 0
:[pic 30]
[pic 31]
[pic 32]
[pic 33]
[pic 34]
[pic 35]
[pic 36]
[pic 37]
[pic 38]
[pic 39]
Pour :[pic 40]
[pic 41]
[pic 42]
[pic 43]
[pic 44]
[pic 45]
[pic 46]
[pic 47]
[pic 48]
[pic 49]
:[pic 50]
[pic 51]
[pic 52]
[pic 53]
[pic 54]
[pic 55]
[pic 56]
[pic 57]
[pic 58]
:[pic 59]
[pic 60]
[pic 61]
[pic 62]
[pic 63]
[pic 64]
[pic 65]
[pic 66]
[pic 67]
- Quels sont les domaines dans lesquels les fonctions suivantes sont holomorphe. , , , [pic 68][pic 69][pic 70][pic 71]
Pour :[pic 72]
Le domaine de définition de cette fonction est : ℂ - {} avec [pic 73][pic 74]
On sait aussi que [pic 75]
Or, comme la fonction exponentielle est holomorphe sur ℂ, la somme de fonction exponentielle est aussi holomorphe sur ℂ ↔ cos(z) est holomorphe sur ℂ ↔ la fonction est donc holomorphe sur ℂ - {}.[pic 76][pic 77]
Pour :[pic 78]
Le domaine de définition de cette fonction est ℂ - {} , avec.[pic 79][pic 80]
...