DS de Calcul Stochastique (Ing 4)

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DS de Calcul Stochastique (Ing 4)

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Simples calculs d'espérance, variance et quantile

Contents

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Simulation du prix d'une action

1 Mouvement Browniens interdépendants

t>O

Dans toute la suite on suppose Xou, k et o >0 sont des constantes réelles de sorte que 0<,0. On considère deux processus X = (X:()). et Y = (YO)... définis par

X+(-) = Xo exp[- kt] +x{1 - exp[-xt]}+x0) et où Y:( suit une loi normale centrée de variance

o(t) = 16 ) {1 - expl–2x}.

T

2 Simples calculs d'espérance, variance et quantile

Dans toute la suite on suppose que W = (W()) est un mouvement Brownien standard, So est une constante réelle strictement positive et aussi que u et o sont des fonctions à valeurs réelles respectivement intégrable et de carré intégrable et que o(s) > 0. On considère que le processus S =

de prix d'une action suit un mouvement Brownien

t>O géométrique généralisé de sorte que pour tous t et d avec 0 <t<t+8 on ait

N

3 Lemme de Itô

N

1. Trouver l'espérance X+) pour tous t > 0.

co

4 Simulation du prix d'une action

pour tous ? > 0.

2. Déterminer aussi la variance de X:

Sus() = S: exp|* {115) – Jo-Co)}ds + " o(s)w.0).

NI

o

Lt

3. Soit x un nombre réel. Calculer la probabilité que X.() soit inférieur ou égal à .. 4. Soit a € (0,1). Calculer le quantile d'ordre a de X:() toujours pour > 0.

Il est commode d'introduire les notations

1. Le devoir est prévu pour une durée de deux heures.

st+8

{(1; 5) = (**{u(s) - 02(0)}ds et 84t;0) = [

NIE

(5)ds

2. Tout document est autorisé, mais il n'y a pas lieu d'utiliser Excel VBA ou MatLab.

3 Lemme de Itô

est un mouvement Brownien standard

.t +-6

et

3. Le soin de présentation des résultats compte. Les résultats demandés doivent être

encadrés sinon ils sont moins comptés ou même ignorés.

Dans tout l'exercice, on suppose que W = (W())

Yus(-) = ((s).(-).

1. Calculer la quantité

d(expl-a(T - 1)]W:())

7

Comme Yt:s() suit une loi normale centrée de variance 92 (t; ) alors on peut l'écrire sous la

forme

1 Mouvement Browniens interdépendants

où a est une constante réelle strictement positive et on suppose que 0 <7

2. Calculer aussi

Y+(-) = 0(t; 8)U++6() où Ut+s suit une loi normale centrée réduite. Soit T tel que 0 < t < T. On veut simuler la valeur future Sto) du cours. Pour cela on suppose que l'intervalle [0, t] peut être subdivisé en M parties de sorte que

On suppose que W+,10') et W1,20), avec t > 0, sont deux mouvements Browniens indépendants. 1. Soient pe(-1,1) et t > 0. On pose

W4,1() = W210) et W1,20) = PW1,10 + V1 - p2W20). Calculer les espérances de W1,1() et W7,20). 2. Calculer aussi les covariances de W1,1() et W1,20). 3. On pose

...