Le rôle des mathématiques dans l'architecture

Quel est le rôle des mathématiques dans l’architecture ?

Introduction :

"L'architecture, en tant que discipline, ne se contente pas de créer des structures esthétiques, elle doit aussi garantir leur stabilité, leur fonctionnalité et leur durabilité. Mais, derrière chaque bâtiment, chaque pont, chaque toit, se cachent des mathématiques essentielles. Dans cette présentation, je vais vous montrer comment les mathématiques jouent un rôle fondamental dans l'architecture, en particulier dans la conception des formes et dans la structure des bâtiments."

Annonce du plan :
"Nous allons d’abord explorer comment les mathématiques interviennent dans la conception des formes architecturales, puis nous verrons leur rôle dans le calcul de la résistance des structures."


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1. Les mathématiques dans la conception des formes architecturales
1.1. Géométrie et symétrie

Les architectes utilisent la géométrie pour concevoir des formes symétriques ou asymétriques et déterminer les proportions d'un bâtiment.

La géométrie euclidienne permet de définir les dimensions et les angles dans un plan. Par exemple, les angles droits dans la construction d’un bâtiment ou l’utilisation de cercles et arcs dans la conception des arcs et voûtes.

La symétrie (par exemple dans les façades ou dans les structures comme les ponts) est essentielle pour l’esthétique et l'équilibre de l'édifice.


Exemple concret :
"Les célèbres Parthénon à Athènes ou la cathédrale Notre-Dame de Paris utilisent des principes de géométrie dans la construction de leurs façades et de leurs colonnes, en cherchant un équilibre parfait entre les éléments architecturaux."

1.2. Fractales et formes naturelles

La fractale est un concept mathématique où les formes se répètent à différentes échelles. Les architectes inspirent parfois leurs conceptions de la nature, qui suit des principes fractals (comme les formes des arbres ou des montagnes).

Par exemple, certains bâtiments modernes intègrent des formes naturelles en utilisant des courbes qui suivent des modèles fractals pour une meilleure esthétique ou pour des raisons fonctionnelles comme l'aération ou l'optimisation de l'espace.


Exemple concret :
"Le bâtiment Guggenheim à New York, conçu par Frank Lloyd Wright, s’inspire de la spirale naturelle, un modèle géométrique récurrent dans la nature."


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2. Les mathématiques dans la structure et la résistance des bâtiments 

2.1. La mécanique des matériaux et les calculs de résistance

L’ingénierie des matériaux repose sur des calculs mathématiques pour déterminer les matériaux les plus adaptés à la construction d’une structure en fonction de la charge qu'elle devra supporter.

L’équilibre des forces dans une structure (compression, tension, flexion) doit être calculé avec des équations différentielles et des systèmes d'équations linéaires.


Exemple concret :
"Pour la construction d’un gratte-ciel, les ingénieurs utilisent des modèles mathématiques complexes pour calculer la résistance du béton, de l’acier ou du verre en fonction des forces qu’ils subiront, comme le poids du bâtiment, le vent ou même les tremblements de terre."

2.2. La géométrie des structures : les arches et les ponts

Les arches, utilisées depuis l'Antiquité, reposent sur des principes mathématiques pour distribuer uniformément les forces de compression.

Par exemple, la courbe parabolique d’une arche permet de mieux supporter les charges. Les architectes et ingénieurs calculent l'angle de l'arc pour optimiser la résistance.


Exemple concret :
"Le célèbre pont du Rialto à Venise repose sur des arcs et des principes géométriques précis pour distribuer les forces et maintenir sa stabilité depuis des siècles."

2.3. Modélisation numérique et calculs complexes

Aujourd'hui, l’informatique et les mathématiques appliquées sont essentielles dans la conception des structures architecturales. Des logiciels comme AutoCAD ou Revit utilisent des algorithmes mathématiques pour simuler et tester la résistance d'un bâtiment avant sa construction.

Les métodes de calcul des éléments finis (FEM, Finite Element Method) permettent de diviser une structure complexe en petites parties, puis de résoudre les équations qui régissent son comportement sous différentes contraintes.


Exemple concret :
"Les architectes de la tour Burj Khalifa à Dubaï, la plus haute tour du monde, ont utilisé des simulations informatiques basées sur des équations complexes pour s'assurer que la structure résiste aux conditions extrêmes de vent et de sismicité."


Conclusion et ouverture 

"Nous avons vu que les mathématiques jouent un rôle fondamental dans l’architecture, tant dans la conception des formes que dans la construction de structures résistantes. Les mathématiques sont des outils puissants pour les architectes, car elles permettent de garantir la stabilité, la sécurité et l’esthétique des bâtiments."

Ouverture :
"Avec l’évolution des technologies et des outils numériques, l’intégration des mathématiques dans l’architecture ne cessera de croître. À l’avenir, l’intelligence artificielle pourrait même permettre de créer des structures encore plus complexes et innovantes. Mais les mathématiques resteront au cœur de ces projets."



option 2

Introduction

"L’architecture, ce n’est pas seulement du dessin ou de l’art. Derrière chaque bâtiment, il y a des mathématiques qui assurent sa beauté et surtout sa solidité. Par exemple, imaginez un pont suspendu ou un gratte-ciel. Comment les ingénieurs savent-ils qu’ils ne vont pas s’effondrer sous leur propre poids ou sous le vent ? Aujourd’hui, je vais vous montrer comment les mathématiques permettent de concevoir des bâtiments solides et harmonieux, avec des exemples concrets de calculs."

Annonce du plan : _"Nous allons voir deux aspects essentiels :

1. Comment les mathématiques aident à concevoir des formes harmonieuses


2. Comment elles permettent d’assurer la solidité des structures.




1. Les mathématiques pour concevoir des formes harmonieuses (3 min)

1.1. Le nombre d’or et les proportions idéales

"Depuis l’Antiquité, on utilise le nombre d’or (environ 1,618) pour concevoir des bâtiments équilibrés. Ce rapport entre la hauteur et la largeur donne une sensation d’harmonie. Par exemple, le Parthénon en Grèce, ou la façade de l'Opéra de Paris, ont été conçus selon ces proportions."

Exemple et calcul à expliquer :
"Imaginons qu’un architecte veuille construire une façade de 50 m de haut en respectant le nombre d’or. Pour trouver la largeur idéale, il divise la hauteur par 1,618 :

b = 50/1.618=30.9m

"Donc, pour respecter ce principe, la façade ferait 50 m de haut et 30.9 m de large. Ces proportions donnent une sensation d’équilibre et de beauté naturelle, car elles sont présentes dans la nature (par exemple, la spirale des coquillages)."

Exemple concret :
"Imaginez un architecte qui veut que son bâtiment ait une forme esthétiquement agréable. Il va utiliser le nombre d’or pour ajuster les dimensions de la façade. Si un immeuble est trop carré ou trop rectangulaire sans tenir compte de ces proportions, il peut sembler moins harmonieux et moins agréable à l’œil."




2. Les mathématiques pour assurer la solidité des bâtiments
2.1. Pourquoi une poutre ne s’effondre-t-elle pas sous son propre poids ?

"Lorsqu’un bâtiment supporte une charge, la poutre qui soutient le poids doit être assez résistante. Pour savoir si la poutre va se casser, on utilise la formule de la flexion, qui calcule la contrainte, c’est-à-dire la force appliquée par unité de surface."

Formule :

S=M/c*I

M: Moment de flexion, c’est l’effet de la force appliquée qui essaye de plier la poutre.

c : Distance entre l’axe neutre et l’extérieur de la poutre.

I : Moment d’inertie, qui dépend de la forme de la poutre. Plus la poutre est large ou a une forme adaptée, plus elle est résistante.


Exemple concret :
"Imaginons une poutre dans un bâtiment qui supporte une charge de 5000 N. Le moment de flexion M = 2000 N·m, la distance c = 0.15 m, et le moment d’inertie I = 0.005 m⁴. En appliquant la formule :

S=2000/0.15*0.005 = 60 Pa

"Si cette contrainte dépasse la résistance du matériau (par exemple, le béton), la poutre pourrait se casser. Si la résistance est de 50 kPa, on sait que la poutre est insuffisante et qu’on doit la renforcer, par exemple en ajoutant de l’acier ou en augmentant la taille de la poutre."

Exemple concret :
"Prenons l’exemple d’une terrasse en béton sur laquelle des gens se tiennent. Si le béton de la poutre n’est pas suffisamment solide, la terrasse pourrait s’effondrer sous le poids. Les ingénieurs calculent les contraintes avec cette formule pour éviter ce genre d’accident."




2.2. Pourquoi un pont suspendu ne s’effondre-t-il pas sous son propre poids ?

"Un pont suspendu, comme le Golden Gate, tient grâce à des câbles tendus qui supportent le poids de la route. Ces câbles doivent être assez solides pour supporter des tensions énormes, en particulier en cas de vent ou de forte circulation."

Formule pour la tension dans les câbles :

T = \frac{W \cdot L}{4h}

: La tension dans un câble, la force qu’il doit supporter.

: Poids de la route suspendue.

: Longueur du pont.

: Hauteur des pylônes. Plus ils sont hauts, plus ils répartissent la charge efficacement.


Exemple concret :
"Prenons un pont de 200 m de long, avec une charge de 100,000 N, et des pylônes de 50 m de haut. On applique la formule pour calculer la tension dans les câbles :

T = 100 000*200/4*50=100 000 N

"Cela signifie que chaque câble doit supporter 100 kN de tension. Si la capacité des câbles est insuffisante, cela pourrait entraîner une défaillance de la structure. Pour éviter cela, il faut augmenter le nombre de câbles ou utiliser des matériaux plus résistants."



2.3. Pourquoi un toit doit-il avoir une pente bien calculée ?

"Si un toit est trop plat, l’eau ne s’évacue pas bien et peut causer des dommages. En revanche, une pente trop forte pourrait être trop coûteuse en matériaux. Les architectes calculent donc la pente idéale en fonction de la taille du toit."

Formule pour l'angle de la pente :

\theta = \tan^{-1} h/b

Exemple concret :
*"Si un architecte veut un toit de 1,5 m de haut pour une base de 4 m, il applique la formule :

\theta = \tan^{-1} \1.5/4=21°

"Cette pente de 21° est idéale pour évacuer l’eau de pluie. Mais dans les zones enneigées, un toit plus pentu est nécessaire pour éviter l'accumulation de neige. C’est pourquoi, dans les Alpes, on trouve des toits à 30-45° de pente."



Conclusion et ouverture 

"Nous avons vu comment les mathématiques permettent de concevoir des bâtiments à la fois harmonieux et solides. Que ce soit avec le nombre d’or pour l’esthétique ou avec des formules de résistance pour la solidité, elles sont présentes partout dans l’architecture."

"Aujourd’hui, grâce aux ordinateurs et aux simulations numériques, les ingénieurs peuvent tester virtuellement leurs calculs avant de construire. Peut-être qu’un jour, avec l’intelligence artificielle, on pourra concevoir des bâtiments encore plus sûrs et écologiques."

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