Les fonctions et les suites

Formules de dérivation :  u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I. [pic 1]

[pic 2]La tangente à la courbe de f au point d abscisse a a pour équation y

f (a) est le coefficient directeur de la tangente au point d abscisse a. 

Fonctions paires et impaires : 

Soit f une fonction définie sur un ensemble D.

f est paire si pour tout x de D, −x appartient à D et f(−x)        f(x). f est impaire si pour tout x de D, −x appartient à D et f(−x)        f(x). [pic 3]

Méthodes à connaître : 

Pour déterminer la position relative des courbes de deux fonctions f et g : 

• on calcule f(x)        g(x) et on lécrit sous forme de produit ou de quotient dexpressions de la forme ax        b ou ax²        bx        c (factorisation, mise au même dénominateur). [pic 4][pic 5][pic 6][pic 7]
• on construit le tableau de signes de f(x)        g(x) [pic 8]
• on conclut avec les positions relatives des deux courbes :  si f(x)        g(x)        0 sur un intervalle I : la courbe de f est au-dessus de celle de g sur I. si f(x)        g(x)        0 sur un intervalle I : la courbe de f est en dessous de celle de g sur I. [pic 9]

Pour déterminer le sens de variation dune fonction f sur son ensemble de définition :  ➢ on cherche l ensemble de définition de f (en cherchant les valeurs interdites) ➢ on détermine f (x) où f [pic 10] est la fonction dérive de f. [pic 11][pic 12]

• on écrit f (x) sous forme de produit ou de quotient dexpressions de la forme ax        b ou ax²        bx        c ou e…. (factorisation, mise au même dénominateur). [pic 13][pic 14][pic 15]
• on construit le tableau de signes de f (x). [pic 16]
• on complète la dernière ligne du tableau avec les variations de f :           si f (x)        0 sur un intervalle I, f est strictement croissante sur I.          si f (x)        0 sur un intervalle I, f est strictement décroissante sur I. [pic 17]
• on calcule les extremas locaux (images des nombres de la première ligne du tableau)

FONCTION EXPONENTIELLE

Cest la seule fonction définie et dérivable sur          telle que f        f et f(0)        1. [pic 18][pic 19][pic 20]

On pose exp(1)        e [pic 21]

On peut noter ex pour exp(x) (se lit "exponentielle x") e0        1 et pour tout réel x; ex        0. [pic 22][pic 23]

Pour tous réels a et b et pour tout entier n  :  

ea + b        ea         eb            e− a                 ea − b        ea                  (ea)n        ena [pic 24][pic 25][pic 26][pic 27]

        ea        eb

Tableau de variation et courbe de la fonction exponentielle : 

 Soit f la fonction définie sur  par f(x) ex, f est dérivable sur . Pour tout x de , f (x) ex 0 [pic 28][pic 29][pic 30]

eb  a b ea 1  a 0 [pic 31]

GÉNÉRALITÉS SUR LES SUITES

Une suite peut être définie de façon explicite par un        f(n) (on a directement un en fonction de n) ou par récurrence par la donnée dun terme et par un        1        f(un) (on calcule un terme en utilisant le précédent). [pic 32][pic 33]

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