La géométrie dans l'espace

1) Vecteurs de l’espace :

On caractérise un vecteur , non nul de l’espace, ayant pour représentant  (=) par : [pic 1][pic 2][pic 3][pic 4]

- sa direction ; donnée par la droite (AB) ou une droite parallèle à (AB) ;
- son sens : celui de A vers B ;
- sa norme ; la distance AB, notée |||| ou ||||
Remarque : tout vecteur  admet un opposé, noté -. Si  = , alors - =  ;[pic 5][pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12]

Théorème : relation de Chasles pour les vecteurs de l’espace :
Pour tous points A, B et C de l’espace,  +  = [pic 13][pic 14][pic 15]

Théorème : Soit A, B, C et D quatre points de l’espace
ABCD est un parallélogramme ssi  =  ou ssi  +  =

2) Vecteurs colinéaires de l’espace :[pic 16][pic 17][pic 18][pic 19][pic 20]

Dire que deux vecteurs  et  de l’espace sont colinéaires signifie que :
- ou les vecteurs  et  ont la même direction,
- ou l’un des vecteurs  et  est le vecteur nul (le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur) ;[pic 21][pic 22][pic 23][pic 24][pic 25][pic 26]

À retenir : Les vecteurs  et  sont colinéaires si, et seulement si, il existe  tel que  =  ;[pic 27][pic 28][pic 29][pic 30][pic 31]

Théorèmes :
(1) Trois points A, B et C sont alignés ssi les vecteurs  et  sont colinéaires.
(2) Deux droites (AB) et (CD) de l’espace sont parallèles ssi les vecteurs  et  sont colinéaires.[pic 32][pic 33][pic 34][pic 35]

3) Vecteurs coplanaires de l’espace :

Dire que trois vecteurs ,  et  de l’espace sont coplanaires signifie qu’ils admettent des représentants dont les origines et les extrémités sont des points coplanaires (situés dans un même plan).[pic 36][pic 37][pic 38]

À retenir : Trois vecteurs ,  et  de l’espace sont coplanaires si, et seulement si, il existe deux réels α et β tels que  = α +  β , ou s’il existe 3 réels a, b et c non nuls tels que a + b + c = .
Ainsi pour que trois vecteurs de l’espace soient coplanaires, il suffit que l’un des vecteurs s’exprime comme une combinaison linéaire des deux autres.

Remarque : Il est aussi possible de prouver que trois vecteurs ne sont pas coplanaires avec cette méthode.[pic 39][pic 40][pic 41][pic 42][pic 43][pic 44][pic 45][pic 46][pic 47][pic 48]

Théorème : Quatre points A, B, C et D de l’espace sont coplanaires ssi il existe deux réels α et β tels que  = α +  β  ;

À retenir : Pour démontrer que 2 plans sont parallèles, il suffit de montrer que 2 vecteurs non colinéaires de l’un des plans sont respectivement colinéaires à 2 vecteurs non colinéaires de l’autre plan.

4) Bases et repères de l’espace :


On appelle repère de l’espace tout quadruplet (O ; , , ) constitué d’un point O de l’espace (origine du repère) et de trois vecteurs ,  et  non coplanaires.
Remarque : On dit que le triplet (, , ) est une base de l’espace. L’ordre des vecteurs est alors important, si l’on change l’ordre, on change de repère.

À retenir : Soit (, , ) une base de l’espace. Il existe un unique triplet (x ; y ; z) tel que :
 = .  (x ; y ; z) sont alors les coordonnées de  dans cette base :  (). [pic 49][pic 50][pic 51][pic 52][pic 53][pic 54][pic 55][pic 56][pic 57][pic 58][pic 59][pic 60][pic 61][pic 62][pic 63][pic 64][pic 65][pic 66][pic 67][pic 68][pic 69]

Propriétés de la géométrie repérée dans l’espace :

L’espace est muni d’un repère (O ; , , ), [pic 70][pic 71][pic 72]

À retenir :
(1) Deux vecteurs  et  de l’espace sont colinéaires ssi leurs coordonnées sont proportionnelles.
(2) Trois vecteurs de l’espace (x ; y ; z), (x’ ; y’ ; z’) et (x’’ ; y’’ ; z’’) sont coplanaires ssi :
s’il existe deux réels α et β tels que =  α + β         soit .[pic 82][pic 83][pic 84][pic 85][pic 86][pic 87][pic 88][pic 89][pic 90]

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