Specialisation SI

On note traditionnellement arithmétique l’étude de l’ensemble des entiers naturels () ou relatifs (). L’addition et la multiplication de deux éléments de  donnent un résultat qui est lui-même dans  . On dit que « + » et « × » sont stables dans  . L’addition, la soustraction et la multiplication sont également stables dans  .

Considérons a∈ et b∈*. Effectuer la division euclidienne de a par b c’est trouver le couple d’entiers (q, r ) tel que a = b × q + r , avec 0 ≤ r < b . Les nombres (a, b, q, r )

sont respectivement le dividende, le diviseur, le quotient entier et le reste de la division euclidienne de a par b . Si r = 0 , on dit que b est un diviseur de a et on note b / a .

1. Relation binaire dans un ensemble

On désigne par E un ensemble non vide et par R une relation binaire entre deux éléments x et y de E. xRy signifie que x et y sont liés par R. À l’inverse, x¬Ry signifie que x et

y ne sont pas liés par R . Cette relation peut présenter un certain nombre de propriétés telles que :

− la réflexivité : ∀x ∈ E, xRx

− lasymétrie:∀(x,y)∈E,xRy⇒yRx

− l’antisymétrie:∀(x,y)∈E,(xRyetyRx)⇒x=y

− latransitivité:∀(x,y,z)∈E,(xRyetyRz)⇒xRz

Une relation à la fois réflexive, symétrique et transitive est une relation d’équivalence.

On considère maintenant a un élément de E . À partir d’une relation d’équivalence sur E, on peut définir la notion de classe d’équivalence de a notée a et définie par a={x E∈/xRa}. Si E est une relation d’équivalence sur E, l’ensemble des classes

d’équivalence définies par cette relation se note E / R et se nomme ensemble quotient de E par R.

Une relation à la fois réflexive, antisymétrique et transitive est une relation d’ordre. Doté d’une telle relation, l’ensemble E est dit ordonné par R .

_____________________________ Exemple _____________________________ L’inégalité large ( ≤ ) est une relation d’ordre dans ,  ou  .

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Créateur du document : Bruno-Laurent MOSCHETTO – Ne pas diffuser

_____________________________ Fin de l’exemple _____________________________

2. Multiples dans 

Soient (a,b)∈. Nous savons que b divise a (noté b/a) si et seulement si ∃x∈

tel que b × x = a . Dans ce cas, on dit aussi que a est un multiple de b ou que a est divisible par b . Cette relation est réflexive et transitive dans  . Elle est antisymétrique dans  mais pas dans  . En effet :

(a / b et b / a) ⇔∃x∈telqueb×x=a ⇔axx1 =a⇔xx1 =1,car a≠0

∃x1∈telquea×x1 =b 

x=1etx1 1 = a=b ⇔ ou ⇔ ou





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