Les Fonctions

I) Fonction

Définition : Définir une fonction f sur un intervalle [a ; b], c'est donner un procédé qui, à tout nombre x de l'intervalle

[a ; b], associe un et un seul nombre réel noté f(x).

Remarques : f(x) se lit « f de x » et x s’appelle la variable.

Notations : On note parfois la fonction f de la façon suivante f : [ ; ]

f( )

a b

x x

® ¡

a

où « xa f ( x) » se lit « à x, associe f de x ».

Définitions : Soit f une fonction définie sur l’intervalle [a ; b].

· L’intervalle [a ; b] s’appelle l’ensemble de définition de la fonction f.

· Le réel f(x) s’appelle l’image de x par la fonction f.

· Soit y un nombre réel. La (ou les) valeur(s) de la variable x qui ont pour image y par f, c’est-à-dire telles que f(x) = y,

s’appelle(nt) le (ou les) antécédents de y par f.

1) Fonction définie par une formule

Exemple : « soit la fonction f définie sur [-4 ; 4] par f (x )= x2 +1 » signifie que la fonction f va associer à chaque nombre x de

l’intervalle [-4 ; 4], le nombre f(x) calculé par la formule f (x )= x2 +1.

[-4 ; 4] est l’ensemble de définition de la fonction f.

a) Calcul d’images

Pour calculer l’image de 3 par f notée f(3), il suffit de remplacer x par 3 dans la formule de f(x). On obtient : f(3) = 10, car

32 +1 =10 ( f(3) = 10 se lit « f de 3 égale 10 »). L’image de 3 par f est 10.

b) Calcul d’antécédents

Pour déterminer les antécédents de 5 par f, c’est-à-dire les valeurs de x telles que f(x) = 5, on pose l’équation f(x) = 5. On

obtient x2 +1 = 5 ; x2 - 4 = 0 ; ( x + 2)( x - 2) = 0 , d’où x = .2 ou x = 2. Les antécédents de 5 par f sont .2 et 2.

2) Fonction donnée par sa courbe ou représentation graphique

Définitions : Soit f une fonction définie sur l’intervalle [a ; b].

· La représentation graphique Bf ou courbe représentative de f dans un repère est l’ensemble des points de

coordonnées (x ; f(x)) où x est dans l’intervalle [a ; b].

· La représentation graphique Bf de f a alors pour équation y = f(x).

Conséquences :

 Un nombre x et son image f(x) sont représentés par le point M

de coordonnées ( x ; f(x) ).

‚ Les valeurs x se représentent en abscisses.

ƒ Les valeurs de f(x) se représentent en ordonnées.

„ Dire qu’un point M de coordonnées (xM ; yM) appartient à Bf

revient à dire que : son abscisse xM est dans [a ; b] et yM = f(xM) ;

l’ordonnée de M est égale à l’image de son abscisse par f.

Sur l’exemple ci-contre, la fonction f est définie sur l’intervalle

[-3 ; 3].

Le point N(-2 ; 1) appartenant à C f , on a : f(-2) = 1.

y = f(x)

C f

f(x) M(x ; f(x))

O 1

1

N(-2 ;1)

x

antécédents

images

Fonctions 2/3

LECTURE D'IMAGE

O 1

1

antécédents

images

x

f(x)

2

.4 a pour image 2 a pour image

C f

.4

Pour lire l'image de x :

· on place x sur l'axe des abscisses ;

· on se déplace verticalement pour rencontrer la courbe C f ;

· on se déplace horizontalement vers l'axe des ordonnées pour

lire l'image f(x).

LECTURE D'ANTECEDENTS

x1 x2 x3

y

3

-2

3 a pour antécédent -2 ou

-2 est l’antécédent de 3

1

0

Points d'intersection de C f

avec la droite horizontale

C f

Pour lire les antécédents de y par f :

·

...