Le théorème de Pythagore

Le théorème de Pythagore est un théorème de géométrie euclidienne qui met en relation les longueurs des côtés dans un triangle rectangle : le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Ce théorème permet notamment de calculer l’une de ces longueurs à partir des deux autres. Il est nommé d’après Pythagore de Samos, philosophe de la Grèce antique. Cependant le résultat était connu plus de mille ans auparavant en Mésopotamie, et, même si les mathématiciens grecs en connaissaient probablement une démonstration avant Euclide, auteur dans ses Éléments de la plus ancienne qui nous soit parvenue, rien ne permet de l'attribuer à Pythagore. Par ailleurs le résultat a vraisemblablement été découvert indépendamment dans plusieurs autres cultures.

Les premières démonstrations historiques reposent en général sur des méthodes de calcul d’aire par découpage et déplacement de figures géométriques. Inversement, la conception moderne de la géométrie euclidienne est fondée sur une notion de distance qui est définie pour respecter ce théorème.

Divers autres énoncés généralisent le théorème à des triangles quelconques, à des figures de plus grande dimension telles que les tétraèdres, ou en géométrie non euclidienne comme à la surface d’une sphère.

Mésopotamie

Illustration d'un problème posé (sans cette illustration) à l'époque paléo-babylonienne sur la tablette d'argile BM 85196 (entre -2000 et -1600), et que l'on peut poser ainsi : une perche de longueur 30 unités est posée verticalement contre un mur, l'extrémité haute glisse verticalement vers le bas de 6 unités, de combien l'extremité basse glisse-t-elle horizontalement ? La « règle de Pythagore » donne la solution à savoir √302 -(30-6)2 = 18 unités2. On retrouve plus tard ce problème de la perche ou du roseau posé contre un mur sur les papyrus égyptiens de l'époque ptolémaïque, les tablettes séleucides3. Il devient un classique des mathématiques arabes4, et on le pose encore de nos jours3.

Les historiens des mathématiques et assyriologues5 ont découvert à la fin des années 1920 que s'était forgée en Mésopotamie (l'ancien Irak), à l'époque paléo-babylonienne une culture mathématique dont l'objet n'était pas purement utilitariste6.

Plusieurs des tablettes d'argiles qui ont été retrouvées et analysées montre que la relation entre les longueurs des côtés du rectangle et celle de sa diagonale (soit entre les longueurs des côtés d’un triangle rectangle) était connue7 et utilisée pour résoudre des problèmes calculatoires8. La tablette Plimpton 322 datant de vers -1800 donne une liste de nombres associés à des triplets pythagoriciens, soit des entiers (a, b, c) satisfaisant la relation a2 + b2 = c2. La tablette ne donne que deux nombres du triplet, mais les associe explicitement au plus grand côté et à la diagonale d'un rectangle9.

Il n'y a pas trace de l'énoncé d'un théorème, et les historiens préfèrent souvent utiliser un autre mot, certains parlent par exemple de « règle de Pythagore »10. Ni celle-ci ni le principe qui la sous-tend ne sont explicitement énoncés non plus, mais les exemples montrent

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