Les mathématiques dans Squid Game

J’ai pris l’habitude de classer les films et les séries en fonction de leur contenu mathématique, sur une échelle allant de 0 à 5. Un film de catégorie 0, c’est un film qui ne parle jamais de maths, à aucun moment. C’est le cas de la majorité des films qui sortent chaque année sur nos écrans, et c’est bien dommage. Les films de catégorie 1 sont ceux qui ont un titre alléchant, mais qui ne tiennent pas du tout leurs promesses mathématiques : Pentagon Papers, les mathématiques du roi Heenok ou calculs meurtriers, par exemple. La catégorie 2 est réservée aux films et séries qui commencent à devenir intéressant, avec une scène qui parle de mathématiques : l’énigme des bouteilles de Die Hard 3, la lecture d’un livre plein de maths dans Iron Man 2, une scène de cours dans High School Musical, etc. La catégorie 3 recouvre les films et série où les mathématiques sont bien présentes, mais essentiellement en toile de fond : par exemple, Agora est un biopic de la mathématicienne de Hypatie d'Alexandrie, mais le film est avant tout un péplum sur les conflits religieux de l’Antiquité. Autre exemple, le film Cube, qui repose son scénario sur des principes mathématiques, mais qui est avant tout un escape game un peu macabre. Les films de catégorie 4, ce sont les films dont le propos principal tourne autour des mathématiques, comme dans l’homme qui défiait l’infini, où le film traite du statut de la preuve en mathématique, en faisant s’affronter le point de vue de Ramanujan et celui de Hardy. Enfin, les films de catégorie 5, ce sont les films où tout est mathématique, de l’intrigue qui doit parler de mathématique jusqu’aux personnages qui sont des concepts mathématiques. Un seul exemple à ma connaissance : les adaptations de Flatland en films d’animation

        Bref. Aujourd’hui, c’est un épisode hors série du Choux Rom Ciné Club, puisque j’avais très envie de discuter d’une scène d’une série de catégorie 2 : la série Squid Game.

Pour les deux-trois qui sont passés à côté, Squid Game est une série sud-corréenne sortie sur Netflix à la rentrée 2021 et au pitch plutôt simple : 456 candidats participent à des jeux pour enfants comme un deux trois soleil, mais où l’élimination est synonyme de mort. Un seul objectif alors : survivre à la série de 6 jeux, afin d’empocher les milliards de wons promis au vainqueur.

Lorsque j’ai découvert la série six mois après tout le monde, une scène du septième épisode m’a particulièrement intéressé. J’aurais pu me contenter d’en faire un simple thread Twitter, mais pourquoi ne pas en faire une petite vidéo sans prétention ? A partir de maintenant, je vais complètement spoiler la série, soyez prévenus.

Dans le 7e épisode de la saison 1, on découvre le 5e jeu, une variante spectaculaire du jeu des pierres de gués. Un pont est formé de 18 paires de plaques de verre. Chaque paire est constituée d’une plaque de verre trempé, capable de supporter le poids de deux personnes, tandis que l’autre se brisera dès que quelqu’un tentera de sauter dessus.. On ne sait bien sûr pas laquelle est laquelle, et on suppose qu'elles ont toutes été placées au hasard. Seule la chance permettra la victoire.

Les 16 participants encore vivants après les 7 premiers épisodes doivent alors franchir ce pont les uns après les autres. Combien vont arriver au bout du pont ? La question fait appel aux probabilités, et ça, ça m’intéresse. L’ordre de passage est imposé, tant pis pour le premier, qui doit donc se lancer.

Quelle est alors sa probabilité de parvenir vivant au bout du pont ? Pour le premier saut, il a une chance sur 2 de sauter sur la plate-forme fragile, et c’est la chute. échec, donc. Sinon, il a une chance sur 2 de sauter sur la plate-forme solide. S’il choisit la bonne plate-forme, il aura à nouveau les mêmes probabilités pour la plate-forme suivante  : 50% de chance de tomber et 50% de chances de survivre. La probabilité de survie après deux plateformes est donc de ½ * ½ , soit une chance sur 4. En poursuivant le raisonnement, on peut déterminer la probabilité de survivre au 18 plate-forme : ½ * ½ * ½ etc, soit ½ à la puissance 18. Notre malheureux candidat n°1 a donc une chance sur 262 144. C’est très peu.

Bien sûr, il se trompe, c’était sûr à 99,9996 %. En l'occurrence, après avoir franchi la première plate-forme, il tombe sur la deuxième. Ca fait deux bonnes plaques de révélées pour la joueuse suivante, la n°2, qui s’élance alors.

Elle n’a aucun mal à atteindre la plaque numéro 2 puisque c’est une joueuse rationnelle, qui a retenu la première bonne plaque. Il lui reste donc 16 plate-forme à traverser, la probabilité d’atteindre son but est donc de 1 chance sur 2 à la puissance 16, soit une chance sur 65 536. C’est mieux que pour le premier joueur, mais ça reste toujours très peu.

Cette probabilité de 1 sur 2 puissance 16 n’a lieu d’être que lorsque le joueur n°1 tombe aux plaques n°2, ce qui n’avait qu’une chance sur 4 de se produire. La probabilité de l’évènement le candidat n°1 tombe à la deuxième plaque puis la candidate n°2 franchit le pont est donc de ¼ x ½^16, c’est-à-dire, 1 sur 2 puissance 18.

Dans un monde parallèle, le candidat n°1 aurait pu tomber à la plaque 3, ce qui a une probabilité ½^3, soit ⅛. Il ne serait resté alors que 15 plate-formes à franchir pour la deuxième candidate, ce qu'elle réussira avec une proba de 1 sur 2 puissance 15. L’enchainement de ces deux événements a donc une probabilité de 1 sur 2 au cube fois 1 sur 2  puissance 15, c’est-à-dire, 1 sur 2 puissance 18.

De manière générale, l’enchainement le candidat n°1 tombe à la plaque x puis la candidate n°2 franchit les plaques restantes est toujours la même : 1 sur  2 puissance 18.

Avant que le candidat n°1 ne se lance, la n°2 peut alors se faire le raisonnement suivant : il y a pour elle 19 scénarios où elle ne meurt pas : 18 où le candidat n°1 tombe, et 1 où les deux sont sauvés. Chacun de ces scénarios a la même probabilité de 1 sur 2 puissance 18. Notre candidate n°2 a donc 19 chances sur 2^18, soit approximativement pas beaucoup. On est sur une probabilité de 0.007 %.

La bonne question que chaque candidat doit se poser pour estimer sa probabilité de survie avant que le jeu ne commence, c’est donc de déterminer le nombre de scénarios qui lui serait favorable. Le premier candidat n’en avait qu’un seul, d'où une chance sur 2 ^18 de gagner, et la deuxième candidate avait 19 scénario favorables, d'où 19 chances sur 2^18

Qu’en est-il du troisième ? Il y a déjà les 19 possibilités où au moins l’un des deux premier candidat a survécu. Il faut alors compter soigneusement le nombre de scénarios où les deux se plantent tous les deux. Et pour faire ça, un outil de combinatoire est parfaitement adapté, les combinaisons. Quand on dispose d’un ensemble de n éléments, le nombre de façons différentes de prendre k élément parmi ces n possibilités est appelé “k parmi n”. Ca se note verticalement entre deux parenthèses, et ce nombre peut se calculer à l’aide d’une formule aussi pratique qu’élégante, que je détaille un peu plus dans ma vidéo sur les nombres de Catalan. Si, par exemple, j’ai un ensemble de, disons, 18 plaques de verre, le nombre de façon de choisir deux plaques parmi ces 18 est donc 2 parmi 18, ce qui est égal à 153.

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