Trigonométrie - 1ere S

CHAPITRE 2 : TRIGONOMETRIE - PARTIE 1

I/ Angles et réels

1) Cercle trigonométrique

Définitions : Soit (O ; I ; J) un repère orthonormé. On appelle cercle trigonométrique le cercle de centre O, de rayon 1 et orienté dans le sens trigonométrique (sens inverse des aiguilles d’une montre).

2) Enroulement de la droite des réels

Soit   le cercle trigonométrique dans un repère orthonormé (O ; I ; J). Soit (d) la tangente à  en I.

Soit K(1 ;1) dans (O ; I ; J). On munit la droite (d) d’un repère (I ; K)
On enroule la droite (d) autour du cercle trigonométrique .

La demi-droite [IK) constituée des points d’abscisses positives, s’enroule dans le sens direct et la demi-droite opposée constituée des points d’abscisses négatives s’enroule dans le sens indirect.

Propriété : A tout réel  correspond un unique point M sur le cercle trigonométrique après enroulement de (d).

Remarque : Tout nombre  est associé à un unique point sur le cercle ainsi que tous les réels
 

ex : Placer sur    les points M1, M2 et M3 associés aux réels respectifs

3) Mesure d’un angle en radian

Définitions : On définit 1 radian, noté 1 rad, la mesure de l’angle interceptant un arc de longueur égale au rayon. Dans le cas particulier du cercle trigonométrique, 1 radian correspond à la mesure de l’angle interceptant un arc de longueur 1.[pic 9][pic 1][pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8]

La mesure d’un angle en radians correspond alors à la longueur de l’arc intercepté.

Propriété : La mesure  d’un angle en radian est proportionnelle à la mesure m de cet angle en degré.
[pic 10]

On a : [pic 13]

ex : Donnez en radian, la mesure d’un angle de 75° :

[pic 14][pic 15]

[pic 18]

Propriété : Déterminer si deux réels correspondent à la mesure d’un même angle :
Deux réels  et  sont deux mesures en radian d’un même angle ; s’il existe  telque :
[pic 19][pic 20][pic 21][pic 22]

ex : Montrer que et  sont deux mesures d’un même angle :

 soit

De même pour  et
[pic 23][pic 24][pic 25][pic 26][pic 27][pic 28][pic 29]

 soit

En est-il de même pour  et  ?

 soit  


Définitions : On appelle mesure principale d’un angle la mesure qui lui correspond et qui appartient à l’intervalle

ex : Déterminer la mesure principale d’un angle de  :

[pic 30][pic 31][pic 32][pic 33][pic 34][pic 35][pic 36][pic 37]

4) Repérage sur le cercle trigonométrique

Comment placer sur le cercle trigonométrique un point associé à un réel ?

Méthode : On peut utiliser la relation  avec  la mesure de l’angle au centre en radian et m celle en degré.
Ensuite, on prend le rapporteur pour placer le point M associé au réel.







ex : Placer le point M associé au réel

On a :            
            
[pic 38][pic 39][pic 40][pic 41][pic 42]

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