Polynomes cas

Objectifs :

 Déterminer les racines et le signe d’un polynôme du second degré.

 Résoudre une équation ou une inéquation du second degré.

 Résoudre une équation (resp une inéquation) se ramenant au second degré

(Equations irrationnelles, Equations bicarrées, Equations avec valeur absolue)

 Exploiter la résolution d’une équation (resp une inéquation) du second degré pour résoudre un

problème la vie courante.

I-Généralités sur les polynômes dans

1. Définitions

0a , 1a , 2a ,…, 1 n a  , na sont des nombres réels tels que 0 na  .

i. 2 ax bx c  est un polynôme de second degré, de coefficients a, b et c.

a est le coefficient de x, b celui de x et c est le terme constant.

ii.   1 2

1 2 1 0 ... n n

n n P x a x a x a x a x a 

       est un polynôme de degré n et de coefficients

0a , 1a , 2a ,…, 1 na  , na

Une racine (ou un zéro) de P est tout réel 0x tel que   0 P x  0 .on dit qu’un tel 0x annule P.

Exemple 1:

   5 3 A x  63x 5x 7x  2 est un polynôme de degré 5, de coefficients -36 ; 5 ;-7 et 2.

  

2 3 5 1

4

x x

B x

  

 est un polynôme de degré 2, de coefficients

3

4



;

5

4

;

1

4



.

   2 5

C x 3x 7

x

   n’est pas un polynôme.

2. Propriétés

i. Si 0x est une racine d’un polynôme P de degré n non nul, il existe un seul polynôme Q de

degré n-1 tel que       0 P x  x  x Q x .dans ce cas, Q x peut être obtenu par la division

euclidienne de P x par 0 x  x .

ii. Pour tout réel x, on a :

2 2

2

2

4

2 4

b b ac

ax bx c a x

a a

   

       

  

L’expression

2 2

2

4

2 4

b b ac

a x

a a

   

    

  

est appelé forme canonique du polynôme 2 ax bx c .

Définition : On appelle discriminant du polynôme du second degré, le réel  tel que 2   b  4ac .

POLYNOMES DU SECOND DEGRE

EQUATIONS ET INEQUATIONS

Polynômes du second degré, Equations et Inéquations Page 2

Exemple 2:

On donne le polynôme   3 2 P x  2x  x  2x 1.

Trouve une racine du polynôme P dans la liste suivante : 2 ; 3 ;-1 ; 0 et -2.

En déduire les réels a, b et c tels que      2 P x  x 1 ax bx  c .

Exemple 3:

Déterminer la forme canonique et le discriminant de chacun des polynômes suivants :

  2 P x  x  2x  2 ;   2 Q x  2x  x 3

II- Polynôme du second degré

1. Racines et factorisation du second degré

Soit   2 P x  ax bx  cun polynôme du second degré.

Propriété :

 Si 2 40 b ac     alors P admet deux racines distinctes 1x et 2 x tels que

1 2

b

x

a

  

 et 2 2

b

x

a

  

 .

La forme factorisée de P est      1 2 P x  a x  x x  x .

 Si 2   b  4ac  0alors P admet une racine double 1 2 2

b

x x

a

   .

La forme factorisée de P est    2

1 P x  a x  x .



...