Nombre complexes

I. L'ensemble !

1) Définition

Définition : Il existe un ensemble de nombres, noté ! , appelé ensemble des

nombres complexes qui possède les propriétés suivantes :

- ! contient ! .

- Dans ! , on définit une addition et une multiplication qui suivent les mêmes règles

de calcul que dans ! .

- Il existe dans ! un nombre i tel que i

2 = −1.

- Tout élément z de ! s'écrit de manière unique sous la forme z = a + ib avec a et b

réels.

Exemples :

3+ 4i ; −2 − i ;

i

3 sont des nombres complexes.

Vocabulaire :

- L'écriture a + ib d'un nombre complexe z est appelée la forme algébrique de z.

2

- Le nombre a s'appelle la partie réelle et la nombre b s'appelle la partie

imaginaire.

On note Re(z) = a et Im(z) = b .

Remarques :

- Si b = 0 alors z est un nombre réel.

- Si a = 0 alors z est un nombre imaginaire pur.

Méthode : Effectuer des calculs sur les nombres complexes

Calculer et exprimer le résultat sous la forme algébrique.

z1 = 3− 5i − (3i − 4) z2 = (3− 2i)(−1+ 5i) z3 = (2 − 3i)

2

z4 = (2i)

13

z5 = 1

4 − 2i

z6 = 1+ i

2 − i

z1 = 3− 5i − (3i − 4) = 3− 5i − 3i + 4

= 7 − 8i

z2 = (3− 2i)(−1+ 5i)

= −3+ 15i + 2i − 10i

2

= −3+ 15i + 2i + 10

= 7 + 17i

z3 = (2 − 3i)

2

= 4 − 12i + 9i

2

= 4 − 12i − 9

= −5 − 12i

z4 = (2i)

13

= 213 i

13

= 8192 × i

2

( )

6

× i

= 8192 × (−1)

6

× i

= 8192i

z5 = 1

4 − 2i

= 4 + 2i

(4 − 2i)(4 + 2i)

= 4 + 2i

16 − 4i

2

= 4 + 2i

16 + 4

= 1

5

+

1

10

i

z6 = 1+ i

2 − i

= (1+ i)(2 + i)

(2 − i)(2 + i)

= (1+ i)(2 + i)

4 + 1

= 1

5

(2 + i + 2i − 1)

= 1

5

+

3

5

i

Propriétés :

a) Deux nombres complexes sont égaux, si et seulement si, ils ont la même partie

réelle et la même partie imaginaire.

b) Un nombre complexe est nul, si et seulement si, sa partie réelle et sa partie

imaginaire sont nulles.

3

Démonstration :

Conséquence immédiate de l'unicité de la forme algébrique.

Exemple d'application :

Déterminons le nombre complexe z vérifiant 2z − 5 = 4i + z .

On a donc :

2z − z = 5 + 4i

z = 5 + 4i

2) Représentation dans le plan complexe

Dans tout le chapitre, on munit le plan d'un repère orthonormé direct O; u

!

; v

!

( ).

Définitions : a et b sont deux nombres réels.

- A tout nombre complexe z = a + ib , on associe le point M de coordonnées (a;b) et

le vecteur w

!"

de coordonnées (a;b).

- A tout point M(a;b) et à tout vecteur w

!"

(a;b), on associe le nombre complexe

z = a + ib appelé affixe du point M et affixe du vecteur w

!"

.

On

...