Les nombres complexes
Cours : Les nombres complexes. Recherche parmi 298 000+ dissertationsPar owendias • 20 Octobre 2019 • Cours • 5 468 Mots (22 Pages) • 464 Vues
Les nombres complexes
I) Forme algébrique d’un nombre complexe.
Théorème
Il existe un ensemble, noté ,de nombres appelés nombres complexes, tel que : contient ; est muni d’une addition et d’une multiplication pour lesquelles les règles de calcul sont les mêmes que dans ; Il existe dans un nombre non réel, noté i, vérifiant i2 = -1 ; Tout nombre complexe z s’écrit de façon unique sous la forme, dite algèbrique : z = a + ib où a et b sont des réels. |
Définitions
- Le réel a est appelé partie réelle de z et est noté Re(z).
- Le réel b est appelé partie imaginaire de z et est noté Im(z).
- Si b = 0 alors z = a + 0i = a et z est un réel.
- Si a = 0 alors z = 0 + ib = ib et z est appelé imaginaire pur.
- On ne peut pas comparer deux nombres complexes comme on compare deux réels.
Par exemple pour 2 - 3i et 4 + 5i.[pic 1]
Premières conséquences (unicité de l'écriture algébrique)
Soit a, b, a’, b’ des réels
a + ib = a' + ib' ⇔ a = a' et b = b'
a + ib = 0 ⇔ a = 0 et b = 0
II) Représentation géométrique d’un nombre complexe
Le plan est rapporté au repère orthonormal direct (O ;→),→))
Définitions[pic 2]
Soit le complexe z = a + ib, a et b réels.
- Le point M(z) est appelé le point image de z.
- Le vecteur →)(z) est le vecteur image de z.
- Le complexe z est l’affixe du point M et l’affixe du vecteur→). On le note souvent zM ou z→).
Affixe d’un vecteur →)[pic 3]
z→) = zB - zA
Propriétés
Pour tous vecteurs →) et →) et tout réel α,
z→) + →) = z→) + z→)
zα→) = αz→)
Affixe du milieu d’un segment[pic 4]
Si I est le milieu du segment [AB] alors
zI = [pic 5]
[pic 6]
[pic 7][pic 8]
III) Les opérations dans
1) Somme et produit
Ces opérations suivent les mêmes règles de calcul que dans .
z + z' = … = (a + a') + i(b + b')
z × z' = … = (aa' - bb') + i(ab' + a'b)
-z = -a - ib
et z' - z = (a' - a) + i(b' - b)
...