Simulation & Tableur

COMMANDES DU TABLEUR POUR DES ACTIVITÉS

MATHEMATIQUES : SIMULATION & STATISTIQUES

Simulation & Tableur

La simulation est un outil important pour traiter des expériences aléatoires. D'où son utilité pour dans l'enseignement des probabilités et de la statistique au collège et au lycée. En effet, elle permet d'expliquer des le déroulement d'expériences aléatoires et d'aborder des problèmes difficiles par le biais d'une démarche expérimentale instructive pour les élèves.

A l'aide des logiciels Excel (ou OpenOffice.org.calc), la simulation permet d'étudier le modèle probabiliste associé à des expériences aléatoires. Ainsi, plusieurs lois de probabilité peuvent être simulées avec Excel. Par ailleurs, la simulation est utilisée également pour traiter des situations statistiques intéressantes.

Aussi, bien que la simulation soit basée sur des séries de nombres «pseudo-aléatoires», son usage pédagogique est devenu incontournable dans l'enseignement des probabilités et statistique au collège et au lycée. On présente ci-dessous des descriptions des outils de simulation et de statistique, nécessaires dans l'enseignement secondaire.

On tient à préciser ici qu'il y a différentes méthodes et astuces dans ce domaine. Ici on expose ces outils d'une façon la plus élémentaire, afin que leur exploitation sur le plan pédagogique soit profitable aux collègues.

Description et usage des principales fonctions

(1) La fonction ALEA() : L'introduction de « =ALEA() » dans une cellule du tableur . La renvoie un nombre aléatoire de l'intervalle [0 ; 1[. Cette fonction peut être utilisée pour obtenir la simulation de tirage lors d'une expérience aléatoire tels que le résultat du « jet d'un dé à 6 faces » ou celui du « jet d'une pièce ».

Utilisation :

a) Pour simuler les résultats du jet d'un dé à 6 faces on utilise l'instruction : =ENT(6*ALEA()+1). Cette formule s'explique comme suit : =6*ALEA()+1 donne un de l'intervalle [0 ; 7[, et en combinant cette instruction avec la partie entière on a la formule =ENT(6*ALEA()+1) qui représente un entier naturel entre 1 et 6.

b) Pour simuler les résultats du jet d'une pièce on commence par associer à Pile à 0 et Face à 1, ensuite on utilise l'instruction : =ENT(2*ALEA()). Cette formule s'explique aussi comme suit : =2*ALEA() donne un de l'intervalle [0 ; 2[, et en combinant cette instruction avec la partie entière on a la formule =ENT(2*ALEA()) qui donne 0 ou 1.

Dans les deux cas précédents, on peut utiliser également la fonction ALEA.ENTRE.BORNES qui renvoie un entier compris entre les deux bornes

- « =ALEA.ENTRE.BORNES(1 ;6) » pour le jet d'un dé à 6 faces

- « =ALEA.ENTRE.BORNES(0 ;1) » pour le jet d'une dé pièce

Attention : cette fonction est à installer, en allant dans les menus « Outils/Macros complémentaires » et cocher la case « Utilitaire d'analyse », ensuite il faut relancer Excel.

Tirage binaire : seconde méthode et généralisation. Pour simuler le résultat sur du lancer d'une pièce, on peut dire qu'on a obtient Pile si la résultat de la fonction =ALEA<0,5 et Face sinon grâce à l'instruction suivante :

=SI(ALEA()<1/2;"Face";"Pile")

Cette formule peut se généraliser dans d'autre cas intéressants comme suit. Par exemple, on peut simuler la réalisation d'un événement A avec une probabilité 0<p<1 en utilisant la formule suivante :

=SI(ALEA()<p;"A";"Non A").

(2) Simulation de n expériences aléatoire – Par exemple pour simuler n=100 fois le jet d'un dé, on peut procéder comme suit :

Méthode 1 :

- Sélectionner (par exemple) la plage A1:J10

- Entrer la formule =ENT(ALEA()*6+1) dans la barre de formule

- Appuyer simultanément sur les trois touches CRTL + SHIFT + ENTRÉE

Méthode 2 :

- Dans la cellule A1 entrer la formule : = =ENT(ALEA()*6+1),

- Sélectionner la cellule A1 et copier la formule jusqu'à A10 (copier = sélectionner à la souris la cellule A1 et tirer sur le petit carré noir en bas à droite de la cellule A1 en maintenant le bouton gauche enfoncé jusqu'à atteindre la cellule A10) ,

- Sélectionner la colonne A1-A10 puis copier jusqu'à la colonne J1-J10 (copier = sélectionner la colonne A1-A10 et tirer sur le petit carré noir en bas à droite de la cellule A10 jusqu'à atteindre la cellule J10).

Appuyer sur la touche F9 pour voire changer les valeurs.

(3) Calcul sur ordre et touche F9 : une fois les n=100 jets effectués, à chaque touche du clavier les résultats d'une nouvelle simulation de n=100 jets est effectuée. Ainsi, il faut bloquer la fonction de « calcul automatique ». Pour cela, dans le menu « Outils/Options/Calcul », puis cocher la case « sur ordre ».

Avec l'activation de l'option « calcul sur ordre », on appui sur la touche F9 pour réaliser une nouvelle simulation.

(4) La fonction NB.SI : La fonction « =NB.SI(plage; critère) » renvoie le nombre de valeurs d'une zone qui vérifient un critère. Par exemple, lors de 100 jets d'un dé si on veut avoir le nombre de 1 ou 5 qui apparaissent lors cette simulation on procède comme suit :

=NB.SI(A1:J10;1) renvoie le nombre de valeurs 1 figurant dans la plage (A1:J10).

=NB.SI(A1:J10;5) renvoie le nombre de valeurs 5 figurant dans la plage (A1:J10).

(5) La fonctions logique SI() – « =SI(condition(s); vraie; faux) » : cette fonction propose deux issues. Voici quelques unes de ses applications pratiques :

a) La formule « =SI(A1=3 ;1 ;4) » renvoie la valeur 1 si la cellule A1 contient un 3 et renvoie la valeur 4 sinon. Ici on a une seule condition

b) On

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