Exercice corrigé - suites arithméticien-géométriques
Étude de cas : Exercice corrigé - suites arithméticien-géométriques. Recherche parmi 298 000+ dissertationsPar hugo.collin • 17 Septembre 2017 • Étude de cas • 579 Mots (3 Pages) • 1 087 Vues
Exercice 1
“Une ville comprenait 300 000 habitants au premier janvier 1950.”
On note la population de la ville à l'année avec .[pic 1][pic 2][pic 3]
“On estime que la ville accueille tous les ans 2% de nouveaux arrivants et a un taux annuel de natalité de 3%.”
(On considère que les nouveaux arrivants ne donnent pas naissance à des enfants l'année de leur arrivée.)
On pose : [pic 4]
En effet, 1,05 est le coefficient multiplicateur qui correspond à +5%. Par ailleurs, “on constate curieusement un nombre fixe de décès et de départ de 800 personnes par an.” (On considère que les décès et les départs d'habitants de cette ville ont lieu après les naissances et l’accueil de nouveaux arrivants.)
Donc : [pic 5]
On constate que est une suite arithmético-géométrique grâce à la formule de récurrence caractéristique : avec et et .[pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10]
- Recherche du point fixe
[pic 11]
[pic 12]
[pic 13]
[pic 14]
Donc : [pic 15]
- Construction d’une suite auxiliaire
On considère la suite définie pour tout entier n par .[pic 16][pic 17]
On a pour tout entier :
[pic 18][pic 19]
or donc :[pic 20]
[pic 21]
[pic 22]
[pic 23]
or [pic 24][pic 25]
Donc : [pic 26]
La suite est une suite géométrique de raison 1,05 [pic 27]
[pic 28]
donc est croissante pour tout n.[pic 29][pic 30]
- Expression explicite de , puis de [pic 31][pic 32]
[pic 33]
Le énième terme d’une suite géométrique s’exprime comme le premier terme multiplié par la raison à la puissance . Donc [pic 34][pic 35]
On a : [pic 36]
Donc : [pic 37]
On sait que pour tout donc donc la suite est croissante pour tout .[pic 38][pic 39][pic 40][pic 41][pic 42]
Vérification : [pic 43]
“On cherche à déterminer à partir de quelle année la population de la ville sera supérieure au double de la population en 1950.”
On cherche donc la valeur de à partir de laquelle : [pic 44][pic 45]
Par essais avec la calculatrice, on trouve : donc [pic 46][pic 47]
[pic 48]
On en conclut que la population de la ville sera supérieure au double de la population en 1950 à partir de 1965.
Exercice 2
On pose le nombre d’adhérents du club sportif à l’année .[pic 49][pic 50]
“Le nombre d’adhérents (...) augmente de 5% chaque année.” Donc : [pic 51]
En effet, 1,05 est le coefficient multiplicateur qui correspond à +5%. Donc : [pic 52]
“En 1990, il y avait 500 adhérents.” Donc le premier terme de la suite est : .[pic 53]
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