Les hyperboles

HYPERBOLE

Le but de ce qui suit est de decrire rapidement et simplement les principales proprietes de l'hyperbole, comme nous l'avons fait dans le chapitre 15 de TLM1 pour l'ellipse et la parabole. Pour une introduction unifiee des coniques (ellipse, parabole et hyperbole) par foyer et directrice et une etude plus approfondie de leurs proprietes, voir le complement Coniques sur le site http ://touteslesmaths.fr.

Dans tout ce qui suit, le plan est rapporte a un repere orthonorme.

1. Definition de !'hyperbo!e

Soient a et b deux nombres reels positifs. Nous definissons l'hyperbole (H) de parametres a et b par son equation cartesienne reduite :

x2        1:2

a2 - b2 = 1        (1)[pic 1][pic 2]

On notera l'analogie de cette equation avec celle de l'ellipse x2 + 1:2

[pic 3]        [pic 4]

= 1.

a2        b2

Comme l'ellipse, l'hyperbole (H) admet Ox et O1: comme axes de symetrie, et O comme centre de symetrie. A l'aide de la relation ch2 t - sh2 t = 1 (TLM1 page 142), on voit que, pour x 0, l’hyperbole (H) d’equation cartesienne (1) admet la representation parametrique :[pic 5]

x = a ch t, 1: = b sh t        (2)

On notera que la representation parametrique ne permet de decrire que les points de l'hyperbole d'abscisse positive, car ch t 2: 0 pour tout t reel.

...