Théorème de plongement de Nash

Théorème de plongement de Nash

Le théorème de plongement de Nash, dû au mathématicien John Forbes Nash, affirme que toute variété riemannienne peut être plongée de manière isométrique dans un espace euclidien.

« De manière isométrique » veut dire « conservant la longueur des courbes ». Une conséquence de ce théorème est que toute variété riemannienne peut être vue comme une sous-variété d'un espace euclidien.

Il existe deux versions de ce théorème, l’une (théorème de plongement de Nash-Kuiper) porte sur les variétés de classe C1, l’autre sur les variétés de classe Ck.

1. Théorème de plongement C1:

Soient (M, g) une variété riemannienne de dimension m et un plongement lisse et non expansif de M dans un espace euclidien ℝn où n ≥ m+1. Alors pour tout ε>0, il existe un plongement de M dans ℝn ayant les propriétés suivantes :

a. est de classe C1,

b. est isométrique, i.e. pour tous vecteurs de l'espace tangent à M en un point on a où < , > est le produit scalaire canonique de ℝn.

c. pour tout point de .

2. Théorème de plongement Ck :

Soient (M, g) une variété riemannienne de dimension m (analytique ou de classe Ck avec k ≥ 3). Alors il existe un nombre n (n = m (m+1) (3m+11) /2 suffit, et même n=m (3m+11)/2 si M est compacte1) et un plongement injectif de dans ℝn, également analytique ou de classe Ck, tel que pour tous vecteurs de l'espace tangent à M en un point on ait :

.

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