Variation D'une Fonction

Variations d’une fonction : Résumé de cours et méthodes 1 Méthode générale d’étude des variations d’une fonction :

Pour étudier les variations d’une fonction f sur un intervalle I :

• Dériver la fonction f .

• Factoriser si possible la dérivée f ′ afin de l’exprimer sous la forme d’un produit ou d’un quotient d’expressions du premier ou

du second degré.

• Etudier le signe de chaque terme de f ′(x) sur l’intervalle I. En déduire le signe de f ′(x) à l’aide d’un tableau de signes.

• Dresser le tableau de variations de f sur I en utilisant la propriété suivante : PROPRIÉTÉ

Remarque : On utilise généralement un seul tableau pour l’étude du signe de la dérivée et les variations de f . (voir exemples)

2 Rappels sur les études de signe :

Pour étudier le signe de f ′ (x), on factorise si possible f ′ (x) sous la forme d’un produit ou d’un quotient d’expressions du premier ou du second degré dont on sait étudier le signe grâçe aux règles suivantes :

• Signe de ax+b (a ̸= 0)

On détermine la valeur de x qui annule ax + b, puis on applique la règle : "signe de a après le 0".

• Signe de ax2 + bx + c (a ̸= 0) : on calcule la discriminant ∆ = b2 − 4ac (sauf cas évidents) - Si ∆ < 0, on applique la règle : "toujours du signe de a".

-Si∆=0,oncalculelaracinedouble:x1 =− b . 2a

On applique alors la règle : "toujours du signe de a et s’annule pour x = x1".

Signe de a

√√ -Si∆>0,oncalculelesdeuxracines:x1 = −b− ∆ etx2 = −b+ ∆.

f étant dérivable sur I, pour tout intervalle J inclus dans I :

• Si f ′(x) > 0, pour tout x de J, alors f est strictement croissante sur J.

(symbolisé par une flèche ↗ dans le tableau de variations)

• Si f ′(x) < 0, pour tout x de J, alors f est strictement décroissante sur J.

(symbolisé par une flèche ↘ dans le tableau de variations)

• Si f′(x) = 0, pour tout x de J, alors f est constante sur J.

(symbolisé par une flèche −→ dans le tableau de variations)

x

−∝ −b/a +∝

ax+b

signe de (−a)

signe de a

x

−∝ +∝

ax2+bx+c

Signe de a

2a

On applique alors la règle : "signe de a à l’extérieur des racines".

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