Généralités sur les inéquations

1. Généralités sur les inéquations

a. Définitions

Soient f et g deux fonctions.

Les inégalités f (x) < g (x), f (x) > g(x), f (x) ≥ g(x) et f (x) ≤ g(x) sont appelées des inéquations d’inconnue x.

Le degré de l’inéquation est l’exposant maximal de l’inconnue x.

Exemples :

a) 3x-4 < 0 est une inéquation du 1er degré en x ;

b) 3x²-2x > x+2 est une inéquation du 2nd degré en x ;

c) 4y+2 > 3y est une inéquation du 1er degré en y.

Résoudre une inéquation, c’est trouver toutes les valeurs de l’inconnue pour lesquelles l’inéquation sera vérifiée.

b. Règles fondamentales

On transforme une inéquation en une inéquation équivalente sans changer le sens de l'inégalité:

En simplifiant et réduisant chacun des membres ;

En ajoutant ou retranchant le même nombre aux 2 membres ;

En multipliant ou divisant les 2 membres par un même nombre strictement positif ;

On transforme une inéquation en une inéquation équivalente en changeant le sens de l'inégalité:

En multipliant ou divisant les 2 membres par un même nombre strictement négatif à la condition de changer le sens de l’inégalité.

Remarque : le but est d’obtenir une inéquation équivalente avec d’un côté une inconnue et de l’autre un nombre connu.

Exemples : Résoudre les inéquations suivantes :

1)

L'ensemble des solutions de cette inéquation est

2)

L'ensemble des solutions de cette inéquation est

2. Inéquations produits

a. Définition

Une inéquation produit est une inéquation dont l’un des membres est un produit et l’autre 0.

Si les facteurs de ce produit sont de degré 1, on parlera d’une inéquation produit du 1er degré.

Exemples :

a) (x+1)(x-1) > 0 est une inéquation produit du 1er degré ;

b) (x²+1)(x-8) ≤ 0 est une inéquation produit.

b. Résolution des inéquations produits du 1er degré

Règle des signes : Soient a et b deux nombres :

ab > 0 a et b sont du même signe

ab < 0 a et b sont de

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