Exercice de mathématiques 1ère L

Soient n un entier naturel non nul et a0,a1,...,an des réels (an≠0).

Une fonction polynôme (ou un polynôme) est une fonction P définie sur R qui peut s'écrire pour tout réel x sous la forme unique :

P(x)=anxn+an−1xn−1+...+a1x+a0

L'entier n est le degré de P.

Les réels a0,a1,...,an sont les coefficients de P.

Le polynôme nul (tous ses coefficients sont nuls) n'a pas de degré.

La fonction P définie pour tout réel x par P(x)=3x4−x2+10x−5 est un polynôme de degré 4.

Deux polynômes sont égaux si et seulement si les coefficients de leurs termes de même degré sont égaux.

La somme et le produit de deux polynômes sont des polynômes.

Soient P et Q deux polynômes de degrés respectifs p et q : le degré du polynôme P×Q est p+q.

BLes racines

Le réel α est une racine du polynôme P si et seulement si :

P(α)=0

Les racines d'un polynôme P sont les solutions de l'équation P(x)=0.

Soit le polynôme défini pour tout réel x par P(x)=2x2−13x+20.

On remarque que P(4)=32−52+20=0.

Le réel 4 est donc une racine du polynôme P.

Soit α une racine du polynôme P de degré n.

Il existe alors un polynôme Q de degré n−1 tel que pour tout réel x :

P(x)=(x−α)Q(x)

Sachant que 4 est une racine du polynôme P dans le précédent exemple, on peut factoriser P par (x−4) :

∀x∈R,P(x)=(x−4)(2x−5)

IILes trinômes du second degré

ACaractérisation

Un trinôme du second degré est un polynôme T de degré 2. Il existe donc trois réels a (≠0), b et c tels que, pour tout réel x :

T(x)=ax2+bx+c

Le polynôme défini pour tout réel x par P(x)=2x2+x−3 est un trinôme du second degré.

On appelle discriminant du trinôme T le réel :

Δ=b2−4ac

On calcule le discriminant du trinôme défini pour tout réel x par P(x)=2x2+1x−3 :

Δ=12−4×2×(−3)

Δ=1−(−24)=1+24=25

La forme canonique de T (c'est-à-dire l'écriture de T où la variable x n'apparaît qu'une seule fois, à la puissance 1) est, pour tout réel x :

T(x)=a[(x+b2a)2−Δ4a2]

BLes racines

Si Δ<0, le trinôme n'a pas de racine réelle.

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