Éléments de géométrie

1 Éléments de géométrie

On se place dans l'espace vectoriel Rn.

1.1 Produit scalaire, norme

Dénitions

• Soient u = (x1, ..., xn) et v = (y1, ..., yn) deux vecteurs de Rn. On appelle produit scalaire usuel

de u et v le réel (ou scalaire)

< u, v >= x1y1 + ... + xnyn

• On appelle norme usuelle (ou norme euclidienne) d'un vecteur u = (x1, ..., xn) de Rn le réel

positif ou nul

||u|| =

q

x

2

1 + ... + x

2

n =

√

< u, u >

• On dénit aussi pour u, v ∈ Rn

< u, v >= ||u|| ||v|| cos(θ), avec θ = (u, v), l'angle entre u et v

Remarques

Le calcul inverse cos θ =

< u, v >

||u|| ||v|| donne un angle θ ∈ [0, π] non orienté

• < u, v >> 0 ⇐⇒ θ aigu

• < u, v >= 0 ⇐⇒ θ droit

• < u, v >< 0 ⇐⇒ θ obtu

Dénitions

• Un vecteur est dit unitaire s'il est de norme 1. Soit u un vecteur alors v =

u

||u|| est unitaire.

• Deux vecteurs sont dits orthogonaux si leur produit scalaire est nul.

• Une base (e1, ..., en) de Rn est dite orthonormale (ou orthonormée) si tous ces vecteurs sont

orthogonaux et de norme 1. On a

∀(i, j) ∈ J1, nK

2

, < ei

, ej >= δij =



1, si i = j

0, si i 6= j

• Remarques :

1) Le repère (O, e1, ..., en) est dit orthonormé

2) On peut assimiler le vecteur u comme un point M(x1, ..., xn), on a bien u =

−−→OM ≡ M

1Mathématiques pour le Big Data

Cours et exercices

ESGI

4A BD

3) Le vecteur u = (x1, ..., xn) s'écrit aussi u = x1e1 + ... + xnen et aura dans le repère (A, e1, ..., en)

les coordonnées u = (x1 − x1(A), ..., xn − xn(A)), avec A(x1(A), ..., xn(A))

4) La méthode

...