Fonction exponentielle – Fonction logarithme népérien

Ch 1 Fonction exponentielle – Fonction logarithme népérien

Correction des exercices type Bac

Exercice 1 :

Préciser si chacune des affirmations est « VRAIE » ou « FAUSSE »

1) Pour tout nombre a et tout nombre b ,  : VRAI car

et .

2) Pour tout nombre réel a et tout réel b :  : FAUX

contre-exemple : avec a = 0 et b = 1 on obtient

alors que

3) Il existe un nombre réel a et un nombre réel b tels que  : VRAI car

équivaut à

qui équivaut à

qui équivaut à ( )2 = 0

Avec ou a = b l’égalité est vraie.

4) Il existe un nombre réel a et un nombre réel b tels que  : FAUX

équivaut à :

qui équivaut à : ( )2 < 0

C’est impossible car un carré ne peut pas être strictement négatif.

Exercice 2 :

En utilisant que les 3 propriétés suivantes de la fonction exponentielle, démontrer que :

pour tout nombre réel x, exp(x) exp(– x) = 1 .

prop. 1 : exp est une fonction dérivable sur R ;

prop. 2 : sa fonction dérivée, notée exp’, est telle que, pour tout nombre réel x ,

exp’(x)=exp(x) ;

prop. 3 : exp(0)=1.

Soit la fonction auxiliaire f définie sur R par f(x) = exp(x)exp(– x)

D’après la prop. 1 et comme la fonction x– x est dérivable sur R , on en déduit que f est dérivable sur R ( produit et composée de 2 fonctions dérivables sur R ) .

f ’(x) = exp’(x) exp( – x) + exp(x) (– 1) exp’(– x) d’après les règles de dérivation suivantes : ( u v )’(x) = u’(x) v(x) + u(x) v’(x) et ( u(ax+b))’= au’(ax+b) .

D’où f ’(x) = exp(x) exp(–x) – exp(x) exp(–x) en appliquant la prop. 2 .

Finalement f ’(x) = 0 .

On en déduit que f est une fonction constante : pour tout x réel on a f(x) = C .

Pour x = 0 : f(0) = exp(0) exp(0)

= 11 en appliquant la prop. 3

= 1

On en déduit que C = 1

Donc, pour tout x réel, on a f(x) = 1

Ou bien, pour tout x réel, exp(x) exp(– x) = 1 .

Exercice 3 :

On considère la fonction f définie sur ] 0 ; + [ par : f (x) = 2 ln x – ( ln x )2 .

On désigne par C sa courbe représentative dans un repère orthonormal (unité graphique:2 cm)

1) Etudier les limites de f en +et en 0 à droite .

Pour tout x > 0, on a f(x) = lnx ( 2 – lnx )

Comme lim lnx = + et lim (2 – lnx) = – (D’après le théorème des limites de sommes)

x x

on en déduit que lim f(x) = – (D’après le théorème des limites de produits)

x

Comme lim lnx = – et lim (2 – lnx) = + (D’après le théorème des limites de sommes)

x0 (x>0) x0 (x>0)

on en déduit que lim f(x) = – (D’après le théorème des limites de produits)

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