Exposé Produit Scalaire

Produit scalaire

Introduction :
Jusqu’au 19 ème siècle, il n’y avait aucun outil mathématique permettant de faire le produit de deux vecteurs entre eux. Seules les additions entre deux vecteurs et le produit entre réel et vecteur étaient possibles. Mais Hermann Grassman, un physicien prussien, a élaboré ce qu’on appelle en mathématiques le produit scalaire. Celui-ci n'est pas un vecteur mais un nombre. Grâce à ce dernier le produit de deux vecteurs a été rendu possible.

1. Définition et propriétés

Définition :

Soient (x ;y) un vecteur du plan muni d’un repère et λ un réel alors :

        - ‖λu ⃗ ‖ = [pic 1]

Soient u et v deux vecteurs du plan de coordonnées     (x ; y) et  (x’ ; y’).[pic 2][pic 3]

Le produit scalaire de  par, noté   . (prononcé u scalaire v) est le nombre réel défini par :[pic 4][pic 5][pic 6]

                               . = xx’ + vv’[pic 7][pic 8]

Propriétés :

Soient u, v et w 3 vecteurs du plan et k un nombre réel.

1. Si =0 ou v=0, alors  . = 0[pic 9][pic 10]

Attention ! La réciproque est fausse, par exemple  (2 ; -1) et  (-3 ; 6)[pic 11][pic 12]

1. On a : . = . (commutativité du produit scalaire)[pic 13][pic 14][pic 15][pic 16]
2. On  a : (k×). =   ×(k ×  = k × ( [pic 17][pic 18][pic 19][pic 20][pic 21][pic 22]
3. On a : . ( )=  + [pic 23][pic 24][pic 25][pic 26]

Notation : [pic 27]

Propriété : Soient  et  deux vecteurs du plan. Les vecteurs  et  sont orthogonaux si et seulement si : . = 0[pic 28][pic 29][pic 30][pic 31][pic 32][pic 33]

Remarque : On peut montrer que deux droites sont perpendiculaires si le produit scalaire de leur vecteur directeur est nul.

Exemple : Vérifier si les vecteurs   (5 ;-4) et   (-7 ; 5) sont colinéaires.
5 x 5 – (-4) x (-7) = -3 ≠ 0[pic 34][pic 35]

Les vecteurs u et v ne sont donc pas colinéaires.

1. Premières applications

1. Equations de droite

Définition : Soit  un vecteur non nul du plan et (d) une droite du plan.[pic 36]

Le vecteur  est dit normal à la droite (d) si et seulement si  est orthogonal à un vecteur directeur de la droite (d).[pic 37][pic 38]

Conséquences : Si  est un vecteur normal à (d), alors c’est un vecteur directeur de toutes droites perpendiculaires à (d).[pic 39]

1. Inversement, tout vecteur directeur d’une droite perpendiculaire à (d), est normal à (d).
2. Tout point M de la droite passant par C et perpendiculaire à la droite (AB), vérifie 

:   = 0[pic 40][pic 41]

Exemple 1 :

Soit (d) la droite d’equation cartésienne 2x – 3y – 6 = 0

Déterminer un vecteur normal à la droite (d).

u(3 ;2) est un vecteur directeur de (d).

On pose n(a ;b) normal à (d) tel que u.n =0 ⬄ 3a + 2b = 0

On a a=2 et b=-3 conviennent, ainsi que n(2 ;-3) est normal à (d).

Théorème : Soit (d) une droite du plan,  (a ;b) un couple de réels (0 ;0) et c  ∈ R.[pic 42]

1. Si   est normal à la droite, alors une équation cartésienne de (d) est de la forme :[pic 43][pic 44]

         ax +by+c = 0

1. Réciproquement, si la droite (d) admet une équation cartésienne de la forme ax +by+c = 0, alors le vecteur    est normal à (d).[pic 45][pic 46]

Propriétés :

Soient (d) et (d’) deux droites du plan.

• Si  et  sont deux vecteurs normaux respectifs aux droites (d) et (d’) alors : [pic 47][pic 48]

     (d)         (d’) ⬄ . = 0[pic 51][pic 52][pic 49][pic 50]

-     Si les vecteurs  et  sont les vecteurs directeurs respectifs aux droites (d) et (d’) alors :[pic 53][pic 54]

       (d)        (d’)  ⬄ . = 0[pic 57][pic 58][pic 55][pic 56]

1. Equation cartésienne du cercle

Soit C le cercle de centre A (x0 ; y0) et de rayon r. Le point M (x ;y) appartient à C si, et seulement si,

AM=r.        Ainsi On obtient :

M ∈ C ⇔ AM=r

Or AM= [pic 59]

Comme une distance est positive, on peut écrire :

...